難得有時間可以寫文章,最近被論文弄到快死了。
今天要講的是前幾天在補習班看到的競賽題,題目如下:
空間中有一個平面 \(E:x+y+z=3\),平面上有一點\( (1,1,1)\)。
在\(E\)上做一圓,圓心為\( (1,1,1)\),半徑為1。
過圓上一點作直線垂直平面\(E\),此直線交xy平面於一點。 對圓上每一個點都得到一個交點,蒐集所有的交點,得到一個橢圓,求橢圓方程式。
解法如下:
解:
此圓為\(x+y+z=3\) 與 \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1\)的解,
設圓上的點為\( (a, b, c)\),則此線為\(x-a=y-b=z-c\)。
因此此線與xy平面交點為\( (a-c,b-c)\)。設\(x’=a-c\),\( y’=b-c\)。
其中\( (a,b,c)\)滿足\(a+b+c=3\) 與 \( (a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=1\)。
聯立 \(x’=a-c\)、\(y’=b-c\)與\(a+b+c=3\),可以得到 \[a=1+\frac{2x’-y’}{3}, b=1+\frac{-x’+2y’}{3}, c=1+\frac{-x’-y’}{3}\]
因此\( (x’,y’)\)滿足 \[ (\frac{2x’-y’}{3})^2+(\frac{-x’+2y’}{3})^2+(\frac{-x’-y’}{3})^2=1 \] 或是 \[ 2x’^2-2x’y’+2y’^2=3 \]
因此,此橢圓方程式為 \[2x^2-2xy+2y^2=3\]