在講之前,先來問一個問題:
如果\(\alpha=\sqrt[3]{1+\sqrt{2}} + \sqrt[3]{1-\sqrt{2}}\), 則\(\alpha\)在\(\mathbb{Q}[x]\) 的minimal polynomial 為何?
意思是,要找出含有\(\alpha\)這個根的有理系數係數多項式之中次方最低的。
我們令\(a=\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}\),\(b=\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}\)。 然而我們有乘法公式: \[\alpha^3=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\]
因此,我們有 \[\alpha^3=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})+3(-1)\alpha\] 而所求即為 \(x^3+3x-2\)。
從上面的討論,我們可以看出來:
若\(x=u+v\),則\(x^3=u^3+v^3+(3uv) x\),或是\(x^3-(3uv)x-(u^3+v^3)=0\)。
因此,如果我們要解\(x^3+px+q=0\)的根,我們只需要找到\(u\),\(v\)使得 \[ uv=\frac{-p}{3}, \] 以及 \[ u^3+v^3=-q。 \]
把前者兩邊都三次方可以得到\(u^3v^3=\frac{-p^3}{27}\), 藉由二次方程式的根與係數,我們可以知道\(u^3\)與\(v^3\)會是 \[ t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0 \] 的兩根,再由二次式的公式解,可以得到\(u^3\),\(v^3\)為 \[ \frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}} ,\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}} \] 但我們要解的是\(u\)和\(v\),就必須要解\(u^3=\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}\)。
上式可以得到\(u=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}}\) 或該答案是再乘上\(\omega\)或\(\omega^2\)。
\(\omega是x^3=1\)的第一個複數根,\(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)。
所以\(x=u+v\)應該會有六種可能,因為\(u\),\(v\)各有三種可能。
不過,因為我們要保持\(uv=\frac{-p}{3}\),因此當\(u=\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}} \omega\)時, \(v\)必須為\(\sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}} \omega^2\)使得乘積不變。
總結來說,\(x^3+px+q=0\)的根為:
\[\sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}}+ \sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}},\\ \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}}\omega+ \sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}} \omega^2,\\ \sqrt[3]{\frac{-q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}} \omega^2+ \sqrt[3]{\frac{-q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{q^3}{27}}} \omega\] 但上述的討論都是侷限在二次係數為0的狀況,若我們的二次係數不是0該怎麼辦呢?
解決方法跟二次式的配方有點像,若我們要解的方程式為\(x^3+ax^2+bx+c=0\), 其等價於\((x+\frac{a}{3})^3+\frac{3b-a^2}{3}(x+\frac{a}{3})+\frac{27c-9ab+2a^3}{27}=0\)。
因此,只要令\(y=x+\frac{a}{3}\),我們可以得到\(y^3+\frac{3b-a^2}{3}y+\frac{27c-9ab+2a^3}{27}=0\)這個沒有二次係數的三次方程式。 將解出來的根減掉\(\frac{a}{3}\),即為所求。
總結來說,如果我們要解的方程式有二次式,長得像\(x^3+ax^2+bx+c=0\),則他的三個根為:
\[-\frac{a}{3}+A+B,\\ -\frac{a}{3}+A\omega+B\omega^2,\\ -\frac{a}{3}+A\omega^2+B\omega\]
其中 \[ A=\frac{1}{3}\sqrt[3]{-\frac{27c-9ab+2a^3}{2}+\sqrt{(\frac{27c-9ab+2a^3}{2})^2+(3b-a^2)^3}},\\ B=\frac{1}{3}\sqrt[3]{-\frac{27c-9ab+2a^3}{2}-\sqrt{(\frac{27c-9ab+2a^3}{2})^2+(3b-a^2)^3}} \]