推導之後再補上,先講結論。
波方程是描述波的行為的偏微分方程,其為\(u_{tt}=c^2 u_{xx}\),其中\(u(x,t)\)為在 \(t\) 時 \(x\) 位置的繩子的位置(高度)。
其中\(c^2=\frac{T^2}{\rho}\),而 \(T\) 為線張力,\(\rho\) 為線密度。
若線的長度為 \(L\),先討論兩端固定的例子,故我們需要兩個邊界條件(Boundary Constraint)。 \[u(0,t)=u(L,t)=0\] 此外需要知道繩子在起始時間的位置與速度: (Initial Condition)
\[u(0,x)=f(x), u_t(x,0)=g(x)\] 解此一種波方程時,比較暴力的方法為用傅立葉級數展開,此時解的形式會為 \[u(x,t)=\sum^{\infty}_{n=1}\sin(\frac{n\pi}{L}x)(A_n \cos(\frac{n\pi}{L}ct)+B_n\sin(\frac{n\pi}{L}ct)) \]
這樣的話\(A_n\)以及\(B_n\)需要滿足兩條IC: \[u(x,0)=\sum^{\infty}_{n=1}A_n \sin(\frac{n\pi}{L}x)=f(x), \]
以及 \[u_t(x,0)=\sum^{\infty}_{n=1}B_n(\frac{n\pi}{L}c) \sin(\frac{n\pi}{L}x)=g(x) \] 而用傅立葉展開,我們就可以直接得到 \(A_n\)及 \(B_n\)。 \[ A_n=\frac{2}{L}\int^L_0 f(x)\sin(\frac{n\pi}{L}x)dx,\\ B_n=\frac{2}{n\pi c}\int^L_0 g(x)\sin(\frac{n\pi}{L}x)dx \] 以下提供一些範例(以下皆假設 \(L=c=1\) ):
例一:
\(g(x)=0\)(沒有初速度),故 B_n=0。 再來是另一個起始條件:
\[f(x)=\cases{ 0 & ,$0 < x < \frac{1}{4}$\cr 4x-1 & ,$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$\cr -4x+3 &, $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{4}$\\ 0 &, $\frac{3}{4} < x < 1$ } \]
,套了公式之後可以得到 \[A_n=-8\frac{\sin(\frac{n\pi}{4})-2\sin(\frac{n\pi}{2})+\sin(\frac{3 n\pi}{4})}{n^2 \pi^2}\]
其中 \(f(x)\)的圖如下:
而最後的成品如下:
例二
\(g(x)=0\),故 \(B_n=0\)。
\(f(x)=x(1-x)\),故 \(A_n=4\frac{1-(-1)^n}{n^3\pi^3}\)
其中 \(f(x)\)的圖如下:
而最後的成品如下:
例三
\[f(x)=\cases{ 0 &,$0 < x < \frac{1}{3}$\\ x - \frac{1}{3} &,$\frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}$\\ 1-x&,$\frac{2}{3} < x < 1$} \] 一樣套公式可以得到\(A_n=2\frac{\sin(\frac{2n\pi}{3})-\sin(\frac{n\pi}{3})}{n^2 \pi^2}\)。
\(g(x)=2\),故\(B_n=4\frac{1-(-1)^n}{n^2\pi^2}\)。
其中 \(f(x)\)的圖如下:
而最後的成品如下: