在facebook公開了這裡之後,得到了一些建議,其中有學長說
Thomas Anderson:2005台大物理那題數學 可以用廣義柯西 那是很久以前的大學聯考考題
於是就有了這篇。
首先重新敘述一下題目:
當\(0 < x < \frac{\pi}{2}\)時, 求\(\frac{2}{\sin x} + \frac{3}{\cos x}\)的最小值。
然後google了一下廣義柯西,就找到了這個。
這邊先簡單敘述一下定理:
若\(a_{i,j}\geq 0, \forall 0\leq i\leq n, 0\leq j\leq m \),則 \[ \prod_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_{i,j}^n \geq (\sum_{i=1}^n \prod_{j=1} ^m a_{i,j})^n \]
用符號寫可能有點難以理解,我們今天要用的是\(n=3,m=2\)的case,換個符號寫可以寫成這樣: \[ (a_1^3+a_2^3)(b_1^3+b_2^3)(c_1^3+c_2^3)\geq(a_1b_1c_1+a_2b_2c_2)^3 \]
於是代入\(a_1=b_1=\sqrt[3]{\frac{2}{\sin x}}\),\(c_1=(\sin x)^{\frac{2}{3}}\),\(a_2=b_2=\sqrt[3]{\frac{3}{\cos x}}\),\(c_2=(\cos x)^{\frac{2}{3}}\),可以得到: \[ (\frac{2}{\sin x} + \frac{3}{\cos x})^2\geq(2^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{2}{3}})^3 \] 因此我們就有了答案 \[ \frac{2}{\sin x} + \frac{3}{\cos x}\geq(2^{\frac{2}{3}}+3^{\frac{2}{3}})^\frac{3}{2} \]
這個解法完全乾淨很多,感謝Thomas Anderson學長