希望這個系列會持續下去,這裡希望可以記錄一些有趣的高中數學題目。 這次要講的是台大物理2012推甄題 \( \sum_{m=1}^{n-1} \cos mx = ?\)
高中法: 積化和差
首先複習一下積化和差,這裡會用到。 \[2\cos a \sin b = \sin(a+b) - \sin(a-b)\] 用上面的公式可以得到: \[\begin{align} &\sum_{m=1}^{n-1} \cos mx \\ = & \frac{1}{\sin(\frac{x}{2})} \sum_{m=1}^{n-1} \cos mx \sin(\frac{x}{2}) \\ = & \frac{1}{2 \sin(\frac{x}{2})} \sum_{m=1}^{n-1}[ \sin(\frac{2m+1}{2}x) - \sin(\frac{2m-1}{2}x)]\\ = & \frac{1}{2 \sin(\frac{x}{2})} (\sin(\frac{2n-1}{2}x) - \sin(\frac{1}{2}x))\\ = & \frac{1}{2 \sin(\frac{x}{2})} (2 \cos(\frac{n}{2}x) \sin(\frac{n-1}{2}x))\\ = & \frac{\cos (\frac{n}{2}x) \sin (\frac{n-1}{2}x)}{\sin(\frac{x}{2})}\\ \end{align}\] 即為所求。
大學法: 尤拉公式
由尤拉公式(\( e^{ix} = \cos x + i \sin x \) ),加上一些式子的整理,我們可以得到以下的式子。 \[ \begin{align} &\sum_{m=1}^{n-1} \cos mx \\ = & Re( \sum_{m=1}^{n-1} e^{imx})\\ = & Re(\frac{e^{ix}(e^{i(n-1)x}-1)}{1-e^{ix}})\\ = & Re(\frac{e^{inx} - e^{ix}}{1- e^{ix}})\\ = & Re(\frac{e^{i \frac{n+1}{2}x}}{e^{i\frac{x}{2}}} \frac{e^{i\frac{n-1}{2}x}-e^{-i\frac{n-1}{2}x}}{e^{i\frac{1}{2}x}- e^{-i\frac{1}{2}x}} \\ = & Re(\frac{e^{i \frac{n+1}{2}x}}{e^{i\frac{x}{2}}} \frac{(e^{i\frac{n-1}{2}x}-e^{-i\frac{n-1}{2}x})/2i}{(e^{i\frac{1}{2}x}- e^{-i\frac{1}{2}x})/2i}) \\ = & Re(\frac{e^{i \frac{n+1}{2}x}}{e^{i\frac{x}{2}}} \frac{\sin(\frac{n-1}{2}x)}{\sin(\frac{x}{2})})\\ = & \frac{\sin(\frac{n-1}{2}x)}{\sin(\frac{x}{2})} Re(e^{i\frac{n}{2}x}) \\ = & \frac{\sin(\frac{n-1}{2}x)}{\sin(\frac{x}{2})} \cos(\frac{n}{2}x) \\ = & \frac{\cos (\frac{n}{2}x) \sin (\frac{n-1}{2}x)}{\sin(\frac{x}{2})} \end{align} \] 其中\(Re(z)\)為取複數的實部。