最近在念托福,快要二戰了。
寫個高中數學,放鬆一下。
今天看到的跟上一篇一樣,都是台大資工2008,而且也是問餘數。
題目是問:求\([(\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100}]\)除以100之餘數為何?
台大資工 2008
\[ [(\sqrt{23}+\sqrt{27})^{100}] \mod 100 =? \] 令\(a=\sqrt{27}+\sqrt{23}\),\(b=\sqrt{27}-\sqrt{23}\)。其中\(b=\frac{4}{\sqrt{27}+\sqrt{23}}\in (0,1)\)。 而且, \[ \begin{align} & a^{100}+b^{100}\\ = & \sum_{k=0}^{100}{100 \choose k} \sqrt{27}^k\sqrt{23}^{100-k}+ {100 \choose k}\sqrt{27}^k(-\sqrt{23})^{100-k}\\ = & 2\sum_{k=0}^{50} {100 \choose 2k}27^k \cdot 23^{50-k} \end{align} \] 為整數。因此,原式\([a^{100}]=a^{100}+b^{100}-1\)。
但其實這樣還是並不好解。因此,我們展開的對象改成\((a^2)^{50}+(b^2)^{50}\)。所以變成 \[ \begin{align} & (a^2)^{50}+(b^2)^{50} \\ = & (50+6\sqrt{69})^{50}+(50-6\sqrt{69})^{50}\\ = & \sum_{k=0}^{50}{50 \choose k} 50^k(6\sqrt{69})^{50-k} +{50 \choose k} 50^k(-6\sqrt{69})^{50-k}\\ = & 2\sum_{k=0}^{25}{50 \choose 2k} 50^{2k}(6\sqrt{69})^{50-2k}\\ = & 2\sum_{k=0}^{25}{50 \choose 2k} 2500^k\cdot 2484^{25-k} \end{align} \] 如此一來就明朗多了。
最後,再取\(\mod 100\), \[ \begin{align} & (a^2)^{50}+(b^2)^{50} \mod 100\\ = & 2\sum_{k=0}^{25}{50 \choose 2k} 2500^k\cdot 2484^{25-k} \mod 100 \\ = & 2\cdot 2484^{25} \mod 100 \\ = & 2\cdot (-16)^{25} \mod 100 \\ = & - 2^{101} \mod 100 \\ = & -2 \cdot 24^{10} \mod 100\\ = & -2 \cdot 76^5 \mod 100\\ = & -2 \cdot 76 \mod 100\\ = & 48 \end{align} \] 最後別忘了原式\([a^{100}]\mod 100 =a^{100}+b^{100}-1 \mod 100=47\)。