今天分享一題很奇妙的題目跟很誇張的解法, 是台大物理2005年的題目。
當\(0 < x < \frac{\pi}{2}\)時, 求\(\frac{2}{\sin x} + \frac{3}{\cos x}\)的最小值。
這題可怕的地方是,看起來就一臉柯西樣,但怎麼用都用不出來。 最後我是在大陸的論壇上看到這個解法。
台大物理 2005
當\(0<x<\frac{\pi}{2}\)時,求\(\frac{2}{\sin x}+\frac{3}{\cos x}\)的最小值。
令\(k>0\)為待定係數。 則原式可以寫成 \[ \frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}+k\sin^2 x+\frac{\frac{3}{2}}{\cos x}+\frac{\frac{3}{2}}{\cos x}+k \cos^2 x-k \] 因此,我們就可以用算幾不等式得到 \[ \begin{align} & \frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}+k\sin^2 x+\frac{\frac{3}{2}}{\cos x}+\frac{\frac{3}{2}}{\cos x}+k \cos^2 x-k
\geq & 3 k^{\frac{1}{3}}+3 (\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}k^{\frac{1}{3}}-k \end{align} \] 然而,而這裡的重點是,若等號要成立,我們必須要讓兩個算幾不等式都滿足,因此我們的\(k\)要滿足 \[ \begin{align} k^{\frac{-1}{3}}&=\sin x\\ k^{\frac{-1}{3}}&=(\frac{3}{2})^{\frac{-1}{3}}\cos x \end{align} \] 可以算出\(k=(1+(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}\),再代回\(\sin x,\cos x\)可以得到 \[ \begin{align} \sin x &=(1+(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}})^{\frac{-1}{2}} \\ \cos x &=(\frac{2}{3})^{\frac{-1}{3}}(1+(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}})^{\frac{-1}{2}} \end{align} \] 極值便等於 \[ \begin{align} & \frac{2}{\sin x}+\frac{3}{\cos x}\\ =& 2 (1+(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}+ 3(\frac{2}{3})^{\frac{1}{3}}(1+(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}\\ =& (2+ 2^{\frac{1}{3}}3^{\frac{2}{3}})\cdot(1+(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}\\ =& (2^\frac{2}{3}+3^{\frac{2}{3}})\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot(1+(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}\\ =& (2^\frac{2}{3}+3^{\frac{2}{3}})\cdot (2^\frac{2}{3}+3^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}\\ = & (2^\frac{2}{3}+3^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \end{align} \] 用一樣的推論,給定\(a,b >0\)時, \[ \min_x [\frac{a}{\sin x}+\frac{b}{\cos x}]=(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \]
用微積分驗證答案
原式對\(x\)微分可以得到 \[ -\frac{a \cos x}{\sin^2 x}+\frac{b\sin x}{\cos^2 x} \] 令其等於 \(0\),可以解出\(\tan^3 x=\frac{a}{b}\), \(\sin x=(1+(\frac{b}{a})^\frac{2}{3})^\frac{-1}{2}\), \(\cos x=(1+(\frac{a}{b})^\frac{2}{3})^\frac{-1}{2} \)。
因此, \[ \begin{align} & \min_x [\frac{a}{\sin x}+\frac{b}{\cos x}]\\ =& a^\frac{2}{3}(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^\frac{1}{2}+b^\frac{2}{3}(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^\frac{1}{2}\\ =&(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \end{align} \] 即為所求。